[数学Ⅰ]特別角から作られる問題とは?単位円を使いこなそう③

三角比を勉強していて、

「問題で何を聞かれているのか分からない」から

「何を答えていいか分からない」という状況に陥ったことはありませんか?

三角比にかかわらず、数学ではよく陥りやすい現象です。

問題文を読んで「答え方」を理解するのが実はとても大切なことです。

具体的に三角比の例でいうと、
答えは角度なのか、三角比の値なのか、どのように考えれば早くて簡単なのか」という根本的なところを、わかりやすく解説します。

また、今回紹介する「特別角を利用し、そこから作られる問題」は、
数学Ⅱの「三角関数」でも当たり前のように出てきます

ぜひとも理解して帰ってくださいね。

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角度や三角比の値の問題は、そのほとんどが特別角

問題文を読んでいて、答えに角度や三角比の値を求められた場合

問題文に特殊な注意書き(例えば、\(\sin15°\)の値があえて書いてあるなど)がない限りは

ほぼ間違いなく「特別角」が答えです。

つまり、0°≦θ≦180°の範囲でいうと、0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°のどれか(またはその三角比の値)が答えになります。

※特別角が何者か知りたい人はこちらを参考にしてください※

[数学Ⅰ]鈍角の三角比の求め方は?特別角とは?単位円を使いこなそう②

2019.05.14

ここで絶対に活用すべき図が、

特別角単位円2

このような、単位円に特別角を書き込んだものになります。

(この図の描き方もこちらで紹介しています。ぜひ参考にしてください。)

もちろん、毎回この図を描くのも大変なので、問題内容に合わせて必要な部分だけを描きます

それでは、例題を用いて説明していきますね。

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(例題1)角度(特別角)から三角比を聞かれる問題

それでは例題を用いて特別角から作られる問題を紹介します。

大前提として、単位円上の点Pにおいて、

単位円 点Pの意味\(\sinθ\) は点Pの「y座標」

\(\cosθ\) は点Pの「x座標」

\(\tanθ\) は直線OPの「傾き」

が成立するのでしたね。(詳しい説明はこちらを参考にしてください。)

[数学Ⅰ]単位円って何のこと?超便利な単位円を使いこなそう①

2019.05.13

それでは例題です。

(例題1)次の三角比の値を求めよ。

(1) \(\sin150°\)

(2) \(\tan45°\)

まずは自分で考えてみましょう。

慣れてきて、単位円を頭の中で描くことができれば1秒で答えが出るようになります。

(1) \(\sin150°\) の値

まずは単位円上に150°と点Pを描きます。(点Pの座標も描きましょう)

例題1図1
\(\sinθ\) は点Pの「y座標」

でしたので、150°の点Pのy座標が答えです。

例題1図2

つまり、

\(\sin150°=\frac{1}{2}\)
となります。

(2) \(\tan45°\) の値

(1)と同様に、単位円上に45°と点Pを描きます。(点Pの座標も描きましょう)

例題図3

\(\tanθ\) は直線OPの「傾き」
なので、OPの傾き(=tan45°)は、

\(\tan45°=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1\)
となります。

(例題2)三角比の値からθを聞かれる問題

今度は、与えられた等式を満たすθ(角度)を答える問題です。

(例題1)0°≦θ≦180°のとき、次の等式を満たすθを求めよ。

(1) \(\cosθ=-1\)

(2) \(\sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

こちらも、単位円を使って考えると、漏れなくすぐに答えにたどり着けますよ!

(1) \(\cosθ=-1\) のθ(つまり角度を答える)

\(\cosθ\) は点Pの「x座標」
だったので、

単位円上に、x座標が-1となる点Pを取りましょう。

このときにできる角度が答えになります。

例題2-1説明

よって、

\(\cosθ=-1\) のとき、\(θ=180°\)
となります。

(2) \(\sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) のθ(つまり角度\(\cosθ=-1\) のとき、\(θ=180°\)を答える)

(1)と同様に考えましょう。

\(\sinθ\) は点Pの「y座標」
なので、

単位円上にy座標が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)となる点Pを取りましょう。

このときにできる角度が答えになります。

例題2-2説明

が、ここで注意すべきなのは、60°と120°の角度が2つ出てきてしまいましたよね?

問題文を見てみると、「0°≦θ≦180°のとき」とあるので、この両方が答えとなります。

よって、

\(\sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) のとき、\(θ=60°,120°\)
となります。

与えられた範囲に適した答えを出すことがポイントですね。

まとめ~題材は同じで聞かれる箇所が違うだけ~

今回紹介したのは、「特別角」については同じですが、そこから聞かれる場所が違うだけというシンプルな問題でした。

単位円を使わなくとも、暗記が得意な人は

\(θ\) 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
\(\sinθ\) 0 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\) 0
\(\cosθ\) 1 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\) 0 \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) -1
\(\tanθ\) 0 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\) なし \(-\sqrt{3}\) -1 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 0

を覚えてさえいれば解けますが、数Ⅱの三角関数では負の角度が出てきたり、180°以上にとどまらず、360°を大きく超えた角なんかも出てきますので、

絶対に今のうちから単位円で慣れておくことをオススメします。

特別角単位円2

何度もしつこいようですが、この図が三角比の基本ですので、自分で描ける(理想は頭の中で思い描ける)ようになりましょう。応援しています!

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