[数学Ⅰ]単位円って何のこと?超便利な単位円を使いこなそう①

チョークで円

数Ⅰの三角比や、数Ⅱの三角関数など、避けては通れないのが「単位円」です。

問題集の解説欄などに、図示解説として当たり前のように出てくる単位円。

意味が分からない=解説が理解できない…ということにもなりかねません。

今回は、この「単位円」について、簡単にわかりやすく説明します

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単位円とは、半径1の円のこと。

まず、単位円とは、半径1の円のことをいいます。

ただし、どこにあってもいいというわけではなく、\(xy\) 座標上の、原点を中心とした半径1の円がよく使われます。
(説明図がややこしくなるので、座標軸のx,yは省略します。)

単位円

また、数学Ⅰでは、この円の上半分しか使いませんので、自分で描くときは、上半分だけを描きましょう。

単位円 上半分

直角三角形を単位円の中に当てはめてみよう。

直角三角形

先ほど紹介した単位円の中に、直角三角形を当てはめてみます。

当てはめ方は、直角三角形の斜辺が半径になるように当てはめます。

単位円 三角形当てはめ

単位円は半径1の円なので、斜辺の長さr=1となりますよね。

斜辺以外の辺の長さは、∠θの大きさ次第で変わるので、
\(x,y\) のままにしておきます。

また、当てはめた直角三角形と、単位円との交点を \(P(x,y)\) としておきます。

単位円 点P

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単位円上で \(\sinθ\)、\(\cosθ\)、\(\tanθ\) が表すものとは?

さて、単位円の中に直角三角形が当てはめられたところで、

\(\sinθ\)、\(\cosθ\)、\(\tanθ\) を求めてみましょう。

単位円 点P

※三角比の求め方がわからない人はこちらを参考にしてください※

[数学Ⅰ]三角比の定義を覚えるコツは?意味づけて簡単に覚えよう!

2019.05.10

\(\sinθ=\frac{y}{1}=y\)

\(\cosθ=\frac{x}{1}=x\)

\(\tanθ=\frac{y}{x}\)

が求まりましたか?
これが何を表しているかというと、

\(\sinθ\) は点Pの「y座標」

\(\cosθ\) は点Pの「x座標」

\(\tanθ\) は直線OPの「傾き」

を表します。

単位円 点Pの意味

つまり、いちいち直角三角形で三角比を考えなくとも

単位円上の点Pの座標さえわかれば、三角比が簡単に求まってしまうということなのです!

次の例題で具体的に考えてみましょう。

(例題)次のような∠θが与えられたとき、\(\sinθ\)、\(\cosθ\)、\(\tanθ\) を求めよ。

単位円 例題

半径1の円ですから、「単位円」ですよね。

点 \(P(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) なので、

\(\sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cosθ=\frac{1}{2}\)

\(\tanθ=\frac{1}{2}\div\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

が求まりましたね。

このように、直角三角形で考えなくとも、三角比が求められます。簡単ですね!

まとめ~単位円なら鈍角の三角比も求められる~

単位円上の点Pの座標さえわかれば、三角比が求められるということは、

θが鈍角(90°<θ<180°)になっても、点Pの座標から三角比が求められるということです。

ここからまた問題の幅が広がりますが、理解してしまえば難しくありませんのでご安心ください!

これに関しては、次の記事で説明しますね。

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