[数Ⅰ]超簡単!三角比の相互関係の問題を1分で解き終わる方法!

「三角比の相互関係」という新しい公式を、頑張って覚えた人も多いと思います。

もちろん、大学入試や模試など、最終的には覚えておきたい公式ではありますが、

「三角比の相互関係」の問題だけでいうと、この公式を覚えて使う必要は特にありません

使うのは「三平方の定理」のみ。

たったこれだけで相互関係の問題が1分で解き終わります。

今回はその超簡単な方法を紹介します。

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三角比の相互関係とは?三平方の定理って何?

まずは「三角比の相互関係」はどんな公式なのかを確認してみましょう。

この公式は、これを使わないと解けない!問題が出てきたときに改めて覚えましょう

三角比の相互関係
  •  \(\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}\) 
  •  \(\sin^2θ+\cos^2θ=1\)
  •  \(1+\tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}\)

というものですね。今回は使わずに置いておきましょう。

また、「三平方の定理」というのは、中学校で学習する内容で、

三平方の定理

三平方の定理

上記のような直角三角形\(ABC\)において、$$AB^2=BC^2+CA^2$$

また、この式を変形して、

$$BC^2=AB^2-CA^2$$

よく使われるので確認しておきましょう!

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三角比の相互関係の問題を1分で終わらせる方法

三角比の相互関係の問題を1分で終わらせる方法とは、ズバリ!

問題文から直角三角形を自分で描くことです!

その中で、辺の長さが分からないところが必ず出てきます。そこで、「三平方の定理」を利用します。

※大前提として「三角比の定義」はマスターしておきましょう※
分からない人はこちらを参考にしてください。

[数学Ⅰ]三角比の定義を覚えるコツは?意味づけて簡単に覚えよう!

2019.05.10

それでは、例題で「1分で終わらせる方法」を解説します。

三角比の相互関係の例題を解いてみよう

(例題) \(θ\) は鋭角とする。次の問に答えよ。

(1) \(\sinθ=\frac{1}{3}\) のとき、\(\cosθ\) と \(\tanθ\) の値を求めよ。

(2) \(\tanθ=2\) のとき、\(\sinθ\) と \(\cosθ\) の値を求めよ。

与えられた情報から、直角三角形の辺の長さを埋める→三角比を求める

で1分、おしまいです。それでは解説します。

(1) \(\sinθ=\frac{1}{3}\) のとき、\(\cosθ\) と \(\tanθ\) の値

まずは直角三角形を描きましょう。\(\sinθ=\frac{対辺}{斜辺}=\frac{1}{3}\) なので、

例題1

まで埋まります。あとは残りの辺の長さ(=隣辺)を「三平方の定理」を用いて求めましょう

\({(隣辺)}^2=3^2-1^2=8\)

(隣辺)>0なので、\({(隣辺)}=2\sqrt{2}\)

このことから、直角三角形は

例題1

となります。したがって、

\(\cosθ=\frac{2\sqrt{2}}{3}\), \(\tanθ=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

が求まりました。慣れれば1分かかりませんね!

(2) \(\tanθ=2\) のとき、\(\sinθ\) と \(\cosθ\) の値

こちらも(1)と同様に考えてみます。

ポイントは、

\(\tanθ=2=\frac{2}{1}\) と分数に変えてから
直角三角形に描き込むことです。

\(\tanθ=\frac{対辺}{隣辺}\) なので、

相互関係例題2

が埋まります。あとは斜辺を三平方の定理で求めてみると、(斜辺)>0なので、

\({(斜辺)}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
相互関係例題2-1

ということで、直角三角形が描けましたので、

\(\sinθ=\frac{2}{\sqrt{5}}\), \(\cosθ=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

が求まりました。

三角比の相互関係のまとめ

いかがでしたか?慣れればほんの1分で解き終わる「相互関係の問題」です。

今回は「θが鋭角」という一番簡単なパターンで解説しましたが、
これを応用すれば、θが鈍角になっても解くことができます
符号に注意するだけです)

それでは、数学の勉強、頑張ってくださいね。
応援しています!

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