[数学Ⅰ]三角比の定義を覚えるコツは?意味づけて簡単に覚えよう!

スイカ

三角比の定義 \(\sinθ=\frac{y}{r}\) を暗記したものの、

三角形の形や方向が変わると何が何だか分からなくなることはありませんか?

問題を解くときに、定義どおりの直角三角形に書き直していませんか?

そうならないために、この記事ではどんな直角三角形にも対応できる、
三角比の定義の簡単な覚え方を紹介します。

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三角比とは?教科書に載っている定義の確認

三角比の定義

上記のような直角三角形において、

  • \(\sinθ=\frac{y}{r}\)  (正弦)
  • \(\cosθ=\frac{x}{r}\)  (余弦)
  • \(\tanθ=\frac{y}{x}\)  (正接)

正弦・余弦・正接をまとめて「三角比」という。

公式はどうしても文字だけになりがちなので、
実際の問題を解くときに「当てはめる」以外に使いづらくなってしまいますよね。

当てはめてしまうと、いざ直角三角形が反転したりと、違う形で出てきたときに対応できなくなってしまうのです。

そこで!三角比の公式を「日本語で」意味付けて覚えてしまいましょう!

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三角比の定義は「日本語」で覚えよう

それでは、三角比の定義を日本語に当てはめるとどうなるか、確認してみましょう。

三角比の定義

上記のような直角三角形において、

  • \(\sinθ=\frac{対辺}{斜辺}\)  (正弦)
  • \(\cosθ=\frac{隣辺}{斜辺}\)  (余弦)
  • \(\tanθ=\frac{対辺}{隣辺}\)  (正接)

正弦・余弦・正接をまとめて「三角比」という。

見た目はとてもややこしくなってしまいましたが、大切なのはその意味です。

それぞれの辺の意味
  • 斜辺:直角三角形の斜めになっている辺。直角の向かい側の辺を指す。
  • 対辺:∠θ の向かい側の辺を指す。
  • 隣辺:∠θの隣の辺を指す。(ただし、斜辺でない方の辺)

直角三角形であれば、斜辺はどれなのか、すぐに決定します。

θがどこにあるかによって、対辺と隣辺は入れ替わるので、この点だけ注意が必要!

それでは、実際に例題で三角比を求めてみましょう。

本当に三角比が求まるのか、例題で確認してみよう

それでは、実際に例題を用いて三角比の値を求めてみましょう。

斜辺・対辺・隣辺はどこなのかを意識して解いてくださいね。

例題① 下の図において、\(\sinθ,\cosθ,\tanθ\) の値をそれぞれ求めよ。

まずは、自分で考えてみましょう。

斜辺・対辺・隣辺がどの辺なのか、わかりましたか?

例題解説

となるので、答えとしては

\(\sinθ=\frac{12}{13},\cosθ=\frac{5}{13},\tanθ=\frac{12}{5}\)

となります。簡単ですよね!

例題② 以下の表を完成させよ。

 
\(θ\) 30° 45° 60°
\(\sinθ\)      
\(\cosθ\)      
\(\tanθ\)      

30°の三角比を考える。

まずは、30°の三角比から考えてみましょう。
30°を含む直角三角形を図示すると以下のようになりますね。
30°

まずは斜辺=2で決定です。(←必ず最初に押さえましょう)

∠30°から見ると、対辺=1、隣辺=\(\sqrt{3}\) となります。

よって、

\(θ\) 30° 45° 60°
\(\sinθ\) \(\frac{1}{2}\)    
\(\cosθ\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)    
\(\tanθ\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)    

が埋まりましたね。

60°の三角比を考える。

同じ図を用いて、60°の三角比も求めましょう。

30°

斜辺=2は変わりませんね

∠60°から見ると、対辺=\(\sqrt{3}\)、隣辺=1 となります。

よって、

\(θ\) 30° 45° 60°
\(\sinθ\) \(\frac{1}{2}\)   \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cosθ\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)   \(\frac{1}{2}\)
\(\tanθ\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)   \(\sqrt{3}\)

が埋まりました。

45°の三角比を考える。

最後に、45°の三角比を考えてみましょう。
45°を含む直角三角形を図示すると、

45°

斜辺=\(\sqrt{2}\)、対辺=1、隣辺=1 となるので、

\(θ\) 30° 45° 60°
\(\sinθ\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cosθ\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\tanθ\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

となります。

ちなみに、この表は、最終的には必ず暗記してしまいましょう。

私が指示する数少ない暗記事項のうちの1つです。
数Ⅱでも数Ⅲでも必要となります。

まとめ~三角比の定義は意味付けて覚える~

以上、三角比の定義を「日本語で」意味付けて覚える方法を紹介しました。

また、30°、45°、60°は特別角と呼ばれるほど重要な角度です。
これらの三角比は必ず暗記しましょう。

\(θ\) 30° 45° 60°
\(\sinθ\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cosθ\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\tanθ\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

それでは、引き続き勉強を頑張ってくださいね。

応援しています!

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