平方完成で計算ミスが多くて困る!機械的な変形方法で計算ミス0へ

迷路解決

数学を勉強しているとき、二次関数の問題を解きたいのに、始めの平方完成で計算ミスして、その後が全部間違えてしまう。という悲しい体験をしたことがありませんか?

塾講師として生徒達を教えていて、計算ミスが意外と多いのがこの「平方完成」という式変形です。

ここでは、平方完成を機械的に行い、計算ミスがなくなる計算方法と、

どのような場面で平方完成を使えば良いのか、活用場面を紹介します。

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平方完成の意味と式変形の方法

まず最初に、「平方完成」って何でしょう?

【平方=ある数を二乗すること。二乗。】

という意味から、平方完成とは、「二乗を作る式変形」のことを指します。

数学では、主に2次式( \(x^2+4x\) や \(3a^2-a+5\) など)から無理矢理 \((x-{△})^2\) を含んだ形に変形する(二乗を作り出す)ことを「平方完成」と呼びます。

二乗の作り方~平方完成の理論的意味~

ここでは、教科書通りの平方完成の式変形を紹介します。

理屈っぽいのが苦手な人は飛ばして読んでもOKです。次の[平方完成を機械的に行う方法と例題]に進みましょう

では試しに 

$$x^2+4x$$
 を平方完成してみましょう。

\((x-{△})^2\) を作りたいので、まずは完成形を想像してみます。

\((x+2)^2=x^2+4x+2^2\) で共通な  \(x^2+4x\)  があることから、 \(x^2+4x\) からは \((x+2)^2\) を作り出せそうですよね。

あとは、\(x^2+4x\)  のあとに \(+2^2\) さえあれば  \((x+2)^2\) が作り出せるので、勝手に  \(+2^2\) を付け加えてみます。

ただし、勝手に付け加えた場合は、帳尻が合うように(=で結ぶので)、そのあとに \(-2^2\) も書いておきましょう。

説明したことを式で表すと、

\begin{eqnarray*}x^2+4x&=&x^2+4x+2^2-2^2\\&=&(x^2+4x+2^2)-2^2\\&=&(x+2)^2-2^2\\&=&(x+2)^2-4\end{eqnarray*}

というように、 2次式から \((x-{△})^2\) を含む式を作り出すことができましたね。この式変形を「平方完成」と呼びます。

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平方完成を機械的に行う方法

さて、先程は、 2次式から \((x-{△})^2\) を含む式を作り出す[平方完成」の操作の説明をしました。具体的には、$$x^2+4x=(x+2)^2-2^2$$の変形方法を紹介しました。

次は、この結果から機械的に平方完成をやってしまおう!というお話に入ります。

まず、機械的な操作として、

$$x^2+{□}x=(x+{△})^2-{△}^2$$

が基本形です。□にはなにか数字(具体例なら4)が入ります。

この基本形は覚えてしまいましょう

あとは△に入る数字だけを考えれば、平方完成はおしまいです。簡単ですよね。

△に入る数字は具体例で見ての通り、□÷2したものです。もし分数になるようなら、分数のまま置いておきましょう。

具体例なら、4÷2=2なので、△には2が入ります。

たったこれだけです。それでは例題で練習してみましょう。

平方完成の例題~機械的に式変形してみよう~

次の式を平方完成せよ。

(1) \(x^2-3x+4\)

(2) \(3x^2+6x-1\)

まずは自分で実際に解いてみましょう。

再度確認しますが、基本形は

$$x^2+{□}x=(x+{△})^2-{△}^2$$
です。△に入る数字を考えましょう。

それでは答え合わせです。

(1) \(x^2-3x+4\) の平方完成

(1) 定数項の4がありますが、これはただの付属品ですので、最後まで無視します。あくまで \(x^2-3x\) だけに着目して平方完成を進めましょう。 

□のところにー3が入っているので、△は  \(-3\div2=-\frac{3}{2}\)  となります。分数のままで計算しましょう。

\begin{eqnarray*}x^2-3x+4&=&(x-\frac{3}{2})^2-(-\frac{3}{2})^2+4\\&=&(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+4\\&=&
(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}\end{eqnarray*}

できましたか?分数が出てくると、計算ミスの可能性がぐっと高まるので、出てきた答えの式を展開して、問題の式に戻るかを確認しておきましょう。(この作業はできれば頭の中で考えるのがBestです)

(確認作業)
\begin{eqnarray*}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}&=&(x^2-3x+\frac{9}{4})+\frac{7}{4}\\&=&x^2-3x+4\end{eqnarray*}

という風に頭の中で確認する癖をつけましょう。これをやるだけで計算ミスはなくなります。必ず確認しましょう。

(2) \(3x^2+6x-1\) の平方完成

(2) (1)と同じく、定数項の-1は付属品なので最後まで無視しましょう。

今度は、\(x^2\) に係数3が付いていますよね。こんなときは、\(3x^2+6x\) 全体を3でくくります。(もちろん定数項は無視です。)

$$3x^2+6x-1=3(x^2+2x)-1$$

3をくくり出した(  )の中で、(1)同様に機械的に平方完成を進めます。□は2なので、△は2÷1=1ですね。

$$3(x^2+2x)-1=3\{(x+1)^2-1\}-1$$

平方完成ができたら分配法則で3を戻し、{  }を外しましょう。

$$3\{(x+1)^2-1\}-1=3(x+1)^2-3-1$$

最後に定数項-1と計算しておしまいです。まとめるとこのようになります。

\begin{eqnarray*}3x^2+6x-1&=&3(x^2+2x)-1\\&=&3\{(x+1)^2-1\}-1\\&=&3(x+1)^2-3-1\\&=&3(x+1)^2-4\end{eqnarray*}

できましたか?平方完成をした後は、元に戻るかどうかの確認を必ず行いましょう

まとめ~平方完成のマスターは高校数学の必須項目~

高校数学において、二次関数は他の単元の問題と絡めやすいことから、定期テストでも模試でも入試でも最も狙われやすい単元です。その二次関数の入口である「平方完成」をミスしてしまっては、その後の答えが全て変わってきます。(=間違えてしまうことになります。)

今のうちに「平方完成」を機械的にしっかりとマスターして、計算ミスなく変形できるようにしておきましょう。応援しています!

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