[数Ⅰ]指数計算でミスが多い?指数法則をミスなく使い分ける方法

塾講師として生徒たちに数学を教えていて、意外と計算ミスが多い「指数計算」。

皆さんは指数法則の公式を記号として丸暗記していませんか?

そして、いざ公式を使って計算しようとすると,

「あれ?どれを使えばいいんだっけ?」と混乱してしまいませんか?

混乱してしまった結果、計算でミスに陥り、なかなか答えが合わない…。

今回は,

  • 忘れにくい指数法則の覚え方
  • 絶対に計算ミスしない方法

をわかりやすく紹介します。

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指数とは?専門用語の確認

まずは、指数計算をするにあたっての専門用語の確認です。

テストで用語の意味を聞かれることはありませんが、問題文の中に当たり前のように書かれている場合があるので、覚えておきましょう。

用語確認
指数
  • \(a\) を \(n\) 個かけたものを \(a\)の\(n\)乗\(\)という。
  • \(a^n\) における \(n\) を 指数、\(a\) を 底(てい)という。

それでは、例題で指数法則を確認していきましょう。

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指数法則は意味付けて覚える!具体例で解説

ここでは具体的な例を挙げながら、指数法則の覚え方を紹介します。

数学を勉強するとき全てに共通することは、

公式は記号として暗記するのではなく、日本語の意味に当てはめて覚えるということです。

このことを意識して例題です。

次の式を簡単にせよ。

(1)  \(2^2\times2^3\)

(2)  \((2^3)^2\)

(3)  \((-3xy)^2\)

まずは自分で解いてみましょう。

それでは解説です。

(1)  \(2^2\times2^3\) の計算

まず、指数法則を全く知らない状態で計算すると、

$$2^2\times2^3=(2\times2)\times(2\times2\times2)=32$$
となります。

もちろん、この考え方で答えを出してなんの問題もありませんが・・・

もう少し簡単に手早く考えてみよう!として考え出されたのが指数法則ですよね。

成り立ちを簡単に説明すると、

\(32=2^5\) なので、この問題は

$$2^2\times2^3=2^5$$

と計算できますね。ここで、左辺と右辺の指数を見比べると

$$2+3=5$$

という式が浮かび上がってきますよね。

つまり、底が同じ数のかけ算は、指数のたし算になります。

(もっと詳しい証明が気になる人はお手持ちの教科書・参考書を読んでみましょう。)

公式化すると、

$$a^m\times{a}^n=a^{m+n}$$

(ただし,\({m},{n}\)は正の整数で\({a}\neq0,{b}\neq0\)のとき)

というものになります。

これを指数法則といいます

先ほども書きましたが、公式を覚えるときに心がけてほしいことは、

「できるだけ日本語で意味づけて覚える」ことです。

ただ文字の羅列を暗記(最終的にはそれで問題ないのですが)だけでは、高校数学はあまりに公式の数が多いので、最初の段階で嫌いになりやすいのです。

今回の問題だと、

底が同じ数の掛け算は、指数の足し算になるから

$$a^m\times{a}^n=a^{m+n}$$

のように意味づけてしまえば,もし忘れてしまっても思い出しやすくなります。

(2) \((2^3)^2\) の計算

こちらも(1)と同様に、指数法則を使わずに解いてみると、

$$(2^3)^2=(2\times2\times2)^2=(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)=64$$

となります。

\(64=2^6\) なので、両辺の指数を見比べてみると

$$3\times2=6$$

という式が浮かび上がってきますね。

つまり、数の何乗の何乗(今回は3乗の2乗)は,指数の掛け算になります。

公式化すると,

(数の\({m}\)乗の\({n}\)乗は、\({mn}\)乗だから、$$(a^m)^n=a^{mn}$$
と意味付けて覚えておきましょう。

(3)  \((-3xy)^2\) の計算

こちらはそのまま計算すると、

\begin{eqnarray*}(-3xy)^2&=&(-3xy)\times(-3xy)\\&=&(-3)^2\times{x}^2\times{y}^2\\&=&9x^2y^2\end{eqnarray*}

となります。

意味付けて公式化すると、

\(ab\) が \(n\) 個ずつあるから

$$(ab)^n=a^nb^n$$

となります。こちらは至ってシンプルですよね。
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指数計算でミスを起こさない方法!計算ミスをする人の特徴とは?

指数計算にかかわらず、数学全般で計算ミスしやすい人の特徴があります。

まずはその特徴を紹介します。

計算ミスしやすい人の特徴
  • 検算(見直し)をしない
  • 字が汚い(自分でも読めないレベル)
  • 慣れる前から途中式を省略したがる
  • 何度も同じ計算ミスを繰り返す

計算ミスしやすい人は共通しています。

塾講師として生徒たちを観察していると、

何度も途中式を書くことを面倒くさがる
→字が汚い(自分でも読めない)
→読めないから見直しができない
→答えが合わない

という負のループを何度も何もも繰り返しています。

ここから考えられる結論として、

慣れるまでは面倒でも途中式をきれいな字で書き、必ず見直しする。
ということです。

こんな簡単なこと!と思われがちですが、この簡単なことを継続できない人が多いのも事実です。

まとめ~数学の公式は意味付けて覚える~

今回は、指数法則を意味付けて覚えること、計算ミスをしない方法を紹介しました。

公式を意味付けて覚えておくと、

「どれを使うの?」と迷うことがなくなり、意味付けて覚えた印象があるから公式を忘れにくくなります

そして、計算ミスしない第一歩は「丁寧な(第三者が読める)字で書くこと」です。

最初は多少時間がかかってしまいますが、慣れてくると、丁寧に速く書けるようになりますよ。

根気よく続けましょう。応援しています!

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