平方完成は二次関数の頂点を求めるだけじゃない!便利な使い方を紹介

パズル

平方完成を覚えたものの、いつ使えば良いのか分からない。」

二次関数の頂点を求める以外にも使う場面はあるの?

どうしても二次関数に使うインパクトが強くて、他の有効利用を忘れられがちな平方完成。

しかし、平方完成の代表的な使い方「二次関数の頂点を求める」以外にも、実は便利な使い方があるのです。

今回はその平方完成の活用場面を例題を用いて一挙紹介します。

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例題紹介の前に~平方完成を機械的に行う~

平方完成の活用場面を紹介する前に、
まずは平方完成をミスなく機械的に行うことはできていますか?

もし、計算ミスが気になるようなら、こちらの記事を参考にしてください。

平方完成で計算ミスが多くて困る!機械的な変形方法で計算ミス0へ

2019.05.02

機械的に平方完成を行う確認です。

機械的な平方完成
$$x^2+{□}x=(x+{△})^2-{△}^2$$ △に入る数字を考えるのがポイントです。

△=□÷2を押さえましょう。

次は、平方完成を用いて具体的にどのような活用場面があるのかを紹介します。

知っておくと、今後の勉強に必ず役立ちますので、しっかり読んで帰ってくださいね。

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平方完成の活用① 二次関数の頂点の座標を求める

平方完成の代表的な使い方といえば、「二次関数の頂点を求める式に変形する」ことですよね。

ちなみに、二次関数 $$y=a(x-p)^2+q$$ の頂点の座標は何かわかりますか?

・・・正解は \((p, q)\) ですよね。こちらも確認しておきましょう。

具体例を挙げるなら、二次関数 \(y=2(x+1)^2+3)\) の頂点の座標は(-1,3)ですね。このことを前提として、例題です。

(例題)二次関数 \(y=2x^2-6x+1\) の頂点の座標を求めよ。

平方完成を利用して、頂点がわかる形(\(y=a(x-p)^2+q\) に変形し、頂点の座標を答えましょう。
変形後の確認作業を忘れずに

\begin{eqnarray*}y=2x^2-6x+1&=&2(x^2-3x)+1\\&=&2\{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\}+1\\&=&2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{2}+1\\&=&2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{2}\end{eqnarray*} と変形できるので、求める二次関数の頂点の座標は \((\frac{3}{2},-\frac{7}{2})\) である。

できましたか?よくありがちなミスとしては、計算ミスなく平方完成ができているのに、それだけで終わってしまうこと。聞かれているのは頂点の座標なので、しっかりその後に答えを書きましょう

平方完成の活用② 二次不等式を示す

実はあまり知られていない平方完成の活用場面として、二次不等式を示すことがあります。

これに関しては、平方完成を使わずとも解けますが、平方完成を使うと、とても手早く解けるのでオススメです。

平方完成の特徴として、「無理やり \((x-{△})^2\) を作り出す」ことがありますよね。

「実数の二乗は、必ず0以上の値になる」ことを利用した活用方法です。

知っておくと必ず得する日が来ます。それでは例題です。

(例題)二次不等式 \(x^2-6x+10>0\) を示せ。

左辺の2次式を平方完成して \(({実数})^2\) を作りましょう。
\(({実数})^2≧0\) を利用して、\(({実数})^2+{(正の数)}>0 が言えますね。

\begin{eqnarray*}{(左辺)}&=&x^2-6x+10\\&=&(x-3)^2-9+10\\&=&(x-3)^2+1>0\end{eqnarray*}よって \(x^2-6x+10>0\) が示された。

たったこれだけです。
平方完成によって \(({実数})^2\) が作れると、与えられた2次式が正であること(つまり、(与えられた2次式)>0 )が簡単に示せましたね。

これを応用して、式の値の最小の問題に使われたり、

問題によっては、二次関数のグラフを描く手間を省けたりします。

平方完成を利用した解法は、問題解説にも何かと使われやすいので、
「実数の二乗は、必ず0以上の値になる」ことを知っておくだけで、「解説が何言ってるかわからん…」という事態にも陥らなくて済みますね。

平方完成の活用場面まとめ

今回は、平方完成を二次関数の頂点を求める以外の活用方法として、

式変形の特徴から、「実数の二乗は、必ず0以上の値になる」ことに着目して、
平方完成の「二次不等式」への活用場面を紹介しました。

これを元知識として、これから多くの問題を解くときに役立ててもらえたらと思います。

頑張って多くの問題を解きましょう。応援しています!

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